LESSON 2.1 · UNIT Ⅴ-2
2.1

평행사변형의 성질

Properties of a Parallelogram — Four Beautiful Consequences

HOOK

평행 두 쌍, 네 가지 결과

From a single condition — two pairs of parallel sides — flow four powerful properties.

주위를 둘러보면 평행사변형은 어디에나 있습니다 — 책 표지를 비스듬히 내려다본 모양, 폭이 기울어진 길, 트럭의 짐칸 측면. 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형, 이것이 평행사변형입니다.

그런데 놀라운 점은 — "두 쌍의 대변이 평행하다"라는 단 하나의 정의에서 네 가지의 우아한 결과가 자동으로 따라온다는 것입니다. 두 쌍의 대변은 길이도 같고, 두 쌍의 대각도 크기가 같고, 이웃한 두 각의 합은 180°이며, 두 대각선은 서로를 이등분합니다.

이 모두를 우리는 삼각형의 합동이라는 한 도구로 증명할 수 있습니다 — 대각선을 그어 평행사변형을 두 개의 삼각형으로 나누면, 그 두 삼각형이 합동임이 비밀의 시작입니다.

A B C D O
$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$, $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$  ⟹  네 가지 성질
CORE CONCEPT

평행사변형의 4가지 성질

One definition, four theorems.

DEFINITION · 정의

평행사변형이란?

두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 평행사변형이라 합니다. 기호로는 보통 $\Box ABCD$로 표기하고, 마주보는 변 $\overline{AB}$와 $\overline{DC}$, $\overline{AD}$와 $\overline{BC}$를 대변(opposite sides), 마주보는 각 $\angle A$와 $\angle C$, $\angle B$와 $\angle D$를 대각(opposite angles)이라 합니다.

$\overline{AB} \parallel \overline{DC}$,  $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$  ⟹  $\Box ABCD$는 평행사변형
Two pairs of parallel sides.
PROPERTY 1

두 쌍의 대변의 길이가 같다

A B C D
$\overline{AB} = \overline{DC}$,  $\overline{AD} = \overline{BC}$
PROPERTY 2

두 쌍의 대각의 크기가 같다

A B C D
$\angle A = \angle C$,  $\angle B = \angle D$
PROPERTY 3

이웃하는 두 각의 합은 $180°$

A B C D + = 180°
$\angle A + \angle B = 180°$   (동측내각)
PROPERTY 4

두 대각선이 서로를 이등분

O A B C D
$\overline{OA} = \overline{OC}$,  $\overline{OB} = \overline{OD}$
PROOF · 성질 1과 4의 증명
$\Box ABCD$가 평행사변형일 때, 대각선 $\overline{AC}$를 그어 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$가 합동임을 보이라.
$\triangle ABC$와 $\triangle CDA$에서
  1. $\overline{AC}$ 공통
  2. $\angle BAC = \angle DCA$ (엇각, $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$)
  3. $\angle BCA = \angle DAC$ (엇각, $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$)
⟹ ASA 합동으로 $\triangle ABC \equiv \triangle CDA$.

대응변·대응각으로:
  • $\overline{AB} = \overline{CD}$, $\overline{BC} = \overline{DA}$ (성질 1)
  • $\angle B = \angle D$ (대응각, 성질 2의 절반)
나머지 두 각은 다른 대각선 $\overline{BD}$로 같은 방법.
A B C D △ABC △CDA
PROOF · 성질 4의 증명 (대각선의 이등분)
$\Box ABCD$의 두 대각선 $\overline{AC}, \overline{BD}$의 교점을 $O$라 할 때 $\overline{OA} = \overline{OC}$, $\overline{OB} = \overline{OD}$임을 보이라.

$\triangle OAB$와 $\triangle OCD$에서

  1. $\overline{AB} = \overline{CD}$ (성질 1)
  2. $\angle OAB = \angle OCD$ (엇각, $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$)
  3. $\angle OBA = \angle ODC$ (엇각)

⟹ ASA 합동으로 $\triangle OAB \equiv \triangle OCD$. 대응변에 의해 $\overline{OA} = \overline{OC}$, $\overline{OB} = \overline{OD}$. Q.E.D.

INTERACTIVE

평행사변형 변형기

Change the shape — see how the four properties stay invariant.

PARALLELOGRAM EXPLORER

변 $\overline{AB}$의 길이와 각 $\angle A$를 바꿔보세요

120
65°
$\overline{AB} = \overline{DC}$  
$\angle A = \angle C$  
$\angle B = \angle D$  
$\angle A + \angle B = $   180°
QUICK CHECK

개념 확인 5

Five quick checks on the parallelogram properties.

Q · 01
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle A = 65°$일 때 $\angle C$의 크기는?
풀이: 두 대각의 크기가 같다 — $\angle C = \angle A = 65°$.
Q · 02
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle B = 110°$일 때 $\angle A$의 크기는?
풀이: 이웃한 두 각의 합 $= 180°$. $\angle A = 180° - 110° = 70°$.
Q · 03
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = 7$일 때 $\overline{DC}$의 길이는?
풀이: 두 대변의 길이가 같다. $\overline{DC} = \overline{AB} = 7$.
Q · 04
평행사변형의 두 대각선의 교점을 $O$라 할 때 $\overline{AC} = 12$이면 $\overline{OA}$의 길이는?
풀이: 두 대각선은 서로를 이등분 — $\overline{OA} = \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$.
Q · 05
평행사변형 $\Box ABCD$에 대각선 $\overline{AC}$를 그으면 만들어지는 $\triangle ABC$와 $\triangle CDA$는?
풀이: ASA 합동 — 평행사변형 성질 증명의 핵심.
WORKED EXAMPLES

예제 2제

Applying the four properties of a parallelogram.

EXAMPLE · 01
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle A = 70°$일 때 나머지 세 각 $\angle B, \angle C, \angle D$의 크기를 모두 구하라.
핵심: 대각이 같다 + 이웃한 두 각의 합 $= 180°$.
STEP 1 · 대각

$\angle C = \angle A = 70°$ (대각).

STEP 2 · 이웃 각

$\angle A + \angle B = 180°$이므로 $\angle B = 180° - 70° = 110°$.

STEP 3 · 대각

$\angle D = \angle B = 110°$.

답: $\angle B = \angle D = 110°$, $\angle C = 70°$
EXAMPLE · 02
평행사변형 $\Box ABCD$의 두 대각선의 교점을 $O$라 하고 $\overline{AC} = 14$, $\overline{BD} = 10$일 때 $\overline{OA}, \overline{OB}, \overline{OC}, \overline{OD}$의 길이를 모두 구하라.
핵심: 두 대각선이 서로를 이등분한다.
STEP 1 · $\overline{AC}$의 이등분

$\overline{OA} = \overline{OC} = \dfrac{\overline{AC}}{2} = \dfrac{14}{2} = 7$.

STEP 2 · $\overline{BD}$의 이등분

$\overline{OB} = \overline{OD} = \dfrac{\overline{BD}}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$.

답: $\overline{OA} = \overline{OC} = 7$, $\overline{OB} = \overline{OD} = 5$
PRACTICE

연습 8문항

★ basic · ★★ standard · ★★★ challenge.

P · 01★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle A = 65°$일 때 $\angle C$의 크기는?
힌트: 대각의 크기는 같다.
P · 02★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle B = 110°$이면 $\angle A$의 크기는?
힌트: 이웃한 두 각의 합 $= 180°$.
P · 03★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = 7$이면 $\overline{DC}$의 길이는?
힌트: 대변의 길이는 같다.
P · 04★★
평행사변형 $\Box ABCD$의 두 대각선의 교점을 $O$라 할 때 $\overline{AC} = 14$이면 $\overline{OA}$의 길이는?
힌트: 대각선의 이등분.
P · 05★★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\overline{AB} = 8$, $\overline{BC} = 5$. 이 평행사변형의 둘레의 길이는?
힌트: 둘레 $= 2(\overline{AB} + \overline{BC})$.
P · 06★★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle A = 3 \angle B$일 때 $\angle B$의 크기는?
힌트: $\angle A + \angle B = 180°$, $\angle A = 3\angle B$ 대입 → $4\angle B = 180°$.
P · 07★★★
평행사변형 $\Box ABCD$에서 $\angle A = 100°$이고, $\angle A$의 이등분선이 변 $\overline{BC}$와 만나는 점을 $E$라 한다. $\angle AEB$의 크기는?
힌트: $\angle BAE = 50°$. $\angle B = 80°$ (이웃). $\triangle ABE$ 내각의 합 $= 180°$.
P · 08★★★
평행사변형 $\Box ABCD$의 두 대각선의 교점을 $O$. $\angle BOC = 70°$일 때 $\triangle OBC$에서 $\angle OBC + \angle OCB$의 값은?
힌트: $\triangle OBC$ 내각의 합 $= 180°$. 나머지 두 각의 합 $= 180° - 70°$.
LESSON WRAP-UP

한 줄 요약

"두 쌍의 대변이 평행하다"는 하나의 정의에서 대변 같음 · 대각 같음 · 이웃 합 180° · 대각선 이등분의 네 결과가 따라온다. 그 비밀은 대각선이 만드는 두 삼각형의 합동.

대변 길이 같음 대각 크기 같음 이웃 합 180° 대각선 이등분